LOGIKA MATEMATIKA

TUGAS 16

LOGIKA MATEMATIKA

Logika Matematika adalah cabang ilmu di bidang matematika yang memperdalam masalah logika. Yang memperjelas logika dengan kaidah-kaidah (aturan) matematika.

Trend perkembangan:

·         Logika proporsional

·         Logika predikat

·         Pemrograman logika

·         Logika fuzzy (logika kabur)

Objek logika adalah pernyataan-pernyataan yang memiliki arti dan memiliki satu nilai saja, yaitu benar atau salah.

1.      Logika Proporsional

Logika Proporsional adalah Logika yang memproses penarikan kesimpulan secara logis (logical derivation) dari proposisi-proposisi. Istilah lainnya adalah : Proportional Logic atau Proportional Calculus.

Proposisi adalah Setiap pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau salah.

Contoh:
Program komputer ini mempunyai bug.

Proposisi atau pernyataan ada yang berbentuk :

ü  Atomik (atomic proposition) : proposisi yang tak dapat dipecah menjadi beberapa proposisi.

Contoh : Anda harus belajar dengan rajin.

ü  Majemuk (compound proposition): gabungan dari beberapa proposisi atomik menggunakan perangkai (connectives).

Contoh : Anda harus belajar dengan rajin atau Anda akan gagal ujian.

2.      Bukan Proposisi

Pernyataan bukan proposisi adalah Pernyataan yang menimbulkan banyak pendapat. Misal :

ü  Angka 13 adalah angka sial.

ü  Angka 7 adalah angka keberuntungan.

ü  Ungu adalah warna janda.

ü  Kalimat perintah dan kalimat tanya.

ü  Badu, kerjakan tugas tersebut!

ü  Badu, apakah engkau sudah mengerjakan tugas?

Sebuah proposisi tidak boleh digantikan oleh proposisi lain meski memiliki makna sama. Contoh :

ü  A = Badu lapar.

ü  B = Badu kenyang.

ü  Bagaimanakah bentuk pernyataan “Tidak A”??

ü  Bolehkah “Tidak A” digantikan oleh B??

3.      Variabel Proporsional

Penggunaan huruf latin sebagai variabel proposisional, tanpa menghilangkan sifat utama proposisi.

Contoh:

ü  A = Badu lapar.

ü  B = Badu kenyang.

Huruf latin yang tidak boleh digunakan: T dan F --> konstanta proporsional.

4.      Argumen

Argumen adalah kumpulan pernyataan, yang disebut premis, dan diikuti oleh kesimpulan yang selaras dengan premis-premisnya.

Contoh:

ü  [1] Jika Anda rajin belajar, maka Anda lulus ujian.

ü  [2] Jika Anda lulus ujian, maka Anda senang.

ü  [3] Dengan demikian, jika Anda rajin belajar, maka Anda senang.

ü  Pernyataan [1] & [2] : premis, [3] : kesimpulan. 

SUMBER :

http://alfisyahrinuzula.blogspot.com/2013/11/pengantar-logika-matematika.html

NAMA : YUNITA DWI ANDIANI

KELAS : 1PA05

NPM : 16509377

PROPOSISI, KOMBINASI PROPOSISI, HUKUM LOGIKA PROPOSISI, DAN TABEL KEBENARAN

TUGAS 15

PROPOSISI, KOMBINASI PROPOSISI, HUKUM LOGIKA PROPOSISI, DAN TABEL KEBENARAN

A.    PROPOSISI

Proposisi adalah kalimat atau pernyataan yang selalu memiliki nilai kebenaran, baik itu bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Berikut ini merupakan contoh kalimat yang merupakan proposisi maupun yang bukan.

1.         4 adalah bilangan genap.

2.         Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama

3.         Universitas Jendral Soedirman terletak di Temanggung.

4.         x + y = 2.

5.         Dimana letak pulau Jawa?

Kalimat 1 dan 2 adalah kalimat proposisi yang bernilai benar. Kalimat 3 adalah kalimat proposisi yang bernilai salah. Sedangkan kalimat 4 dan 5 bukan merupakan kalimat proposisi.

Proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,….. misalnya:

p : 4 adalah bilangan genap.

q : Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.

r : Uni∨ersitas Jendral Soedirman terletak di Temanggung.

B.     KOMBINASI PROPOSISI

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and),  atau (or), dan  tidak (not).  Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Dalam logika, dikenal 5 buah operator seperti dijelaskan dalam tabel berikut ini.

Contoh:

p : Hari ini hujan deras.

q : Mahasiswa tidak kuliah.

Maka:

p ∧ q    : Hari ini hujan deras dan mahasiswa tidak kuliah.

p ∨ q   : Hari ini hujan deras atau mahasiswa tidak kuliah.

-p       : Hari ini tidak hujan deras.

p ∧ -q  : Hari ini hujan deras dan mahasiswa kuliah.

-(-p)  : Tidak benar bahwa hari ini tidak hujan deras.

p ⇒ q   : Jika hari ini hujan deras, maka mahasiswa tidak kuliah.

p ⇔ q   : Hari ini hujan deras jika hanya jika mahasiswa tidak kuliah.

C.    HUKUM LOGIKA PROPOSISI

Berikut adalah hukum-hukum logika yang berlaku pada proposisi.

1.        Hukum Identitas

p ∨ F ⇔ p

p ∧ T ⇔ P

2.        Hukum Null / dominasi

 p ∧ F ⇔ F

 p ∨ T ⇔ T

3.        Hukum Negasi

p ∨ -p ⇔ T

p ∧ -p ⇔ F

4.        Hukum Idempotent

p ∨ p ⇔ p

p ∧ p ⇔ p

5.        Hukum Involusi (negasi ganda)

-(-p) ⇔ p

6.        Hukum Penyerapan (absorpsi)

p ∨ ( p ∧ q) ⇔ p

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p

7.        Hukum Komutatif

p ∨ q ⇔ q ∨ p

p ∧ q ⇔ q ∧ p

8.        Hukum Asosiatif

p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r

p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r

9.        Hukum Distributif

p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

10.    Hukum De Morgan

- (p ∧ q) ⇔ -p ∨ -q

- (p ∨ q) ⇔ -p ∧ -q

D.    TABEL KEBENARAN

Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang memuat nilai kebenaran proposisi majemuk. Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran proposisi-proposisi pembangunnya. Jika kalimat majemuk yang akan kita buat tabel kebenarannya memuat n proposisi tunggal, maka jumlah komposisi nilai kebenarannya ada 2n.

Tautologi dan Kontradiksi

Taulogi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai benar untuk setiap kemungkinan atau nilai kebenaran komponen-komponennya. Hal ini dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran ataupun sifat-sifat logika. Jadi dalam segala kemungkinan bentuk tabel kebenaran, maka selalu menghasilkan nilai True. Atau proposisi tersebut apabila dijabarkan dengan menggunakan hukum-hukum logika yang benar maka akan menghasilkan kesimpulan nilai akhir adalah True (T).

Kontradiksi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan dari premis-premisnya. Kadi, kontradiksi berlawanan dengan tautologi. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran ataupun sifat-sifat logika. Jadi dalam segala kemungkinan bentuk tabel kebenaran, maka selalu menghasilkan nilai False. Atau proposisi tersebut apabila dijabarkan dengan menggunakan hukum-hukum logika yang benar maka akan menghasilkan kesimpulan nilai akhir adalah False (F).

SUMBER :

 http://alfisyahrinuzula.blogspot.com/2013/10/proposisi-kombinasi-proposisi-dan-tabel.html

NAMA : YUNITA DWI ANDIANI

KELAS : 1PA05

NPM : 16509377

FUNGSI

TUGAS 14

FUNGSI

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik. “Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

A.    Pengertian Domain, Kodomain dan Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

Contoh :

Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan "setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah Faktor dari, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

1.      Diagram Panah

2.      Diagram Cartesius

3.      Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

Himpunan pasangan berurutannya : {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (2, 10),  (4, 4), (4, 8), (6, 6)}

B.     Domain, Kodomain  dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan  B disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Contoh 1  :

Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :

Jawab:

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

Contoh 2 :

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:

1).    Domain = { 3, 5 }

Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}

Range = { 1, 2, 8}

2).    Domain = { 3, 5, 7, 8}

Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}

Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

SUMBER :

http://alinelizabeth2.blogspot.com/2013/06/fungsi-domain-kodomain-dan-range.html

NAMA : YUNITA DWI ANDIANI

KELAS : 1PA05

NPM : 16509377

HIMPUNAN DAN BILANGAN

TUGAS 12

HIMPUNAN DAN BILANGAN

1.      PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang telah terdefinisi secara jelas  atau sekumpulan objek yang mempunyai satu kesatuan serta mempunyai keterikatan diantara anggota-anggotanya.

Contoh himpunan

·         Kumpulan kata dalam kamus

·         Kumpulan buku dalam perpustakaan

·         Sifat keterikatan yang ada dalam kumpulan tersebut biasa disebut sifat-sifat dari himpunan:

1.      Setiap objek dapat dibedakan dari yang satu dengan yang lainnya yang ada dalam unsur/elemen dari himpunan itu sendiri.

2.      Dapat dibedakan mana anggota himpunan dan mana yang bukan.

Contoh:

Umum: 

ü  himpunan mahasiswa Gunadarma yang namanya mulai dari huruf A.

ü  himpunan binatang berkaki 2.

ü  ilmu geometri berhubungan dengan matematika yang berhubungan dengan titik.

Khusus:

ü  himpunan bilangan positif

ü  himpunan bilangan real yang x ≤ 5004

ü  himpunan asli yang 2 < x < 60

ü Lambang himpunan biasa ditulis sebagai berikut: “A” = {    }

ɛ = elemen / unsur

2.      MENYATAKAN ATAU MENULIS  SUATU HIMPUNAN

1.      Cara pendaftaran

Suatu cara yang dipergunakan untuk menulis himpunan dengan cara mendaftarkan setiap elemen / unsur dari himpunan tersebut.

Contoh :

ü  himpunan bilangan bulat yang kurang dari sama dengan 18,

ditulis B= {0,1,2,3,...}

ü  himpunan binatang berkaki 4, ditulis B= {sapi,babi,anjing,...}

2.      Cara pencirian

Suatu cara yang dipakai untuk menyatakan / menulis himpuna dengan cara menulis karakteristik dari setiap elemen / unsur himpunan tersebut.

Contoh:

ü  himpunan bilangan real  yang 2,005<x≤10,11

Dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi  R={x/2,005<x≤10,11;xϵR}

ü  himpunan bilangan bulat, dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi: B={x/xϵb}

3.      JUMLAH UNSUR SUATU HIMPUNAN

Banyaknya elemen atau unsur yang terkandung didalam himpunan itu sendiri , biasanya di beri simbol “ N(A)”= kardinal.

Contoh :

ü  A= {a,i,u,é,o,e}

“N(A)”= 6

ü  B= {-2,-1,0,1,2,3,4}

“N(A)”=7

4.      MACAM-MACAM HIMPUNAN

1.      Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki elemen atau unsur. Simbol himpunan kosong

            {       } , Ф atau Ǿ

Contoh :

ü  himpunan nama hari yang diawali huruf z

ü  himpunan bilangan bulat 4<x<5

                                                 Jika ditulis dengan cara pencirian menjadi : A= {x/x}

2.      Himpunan Bagian

Jika A adalah himpunan, B juga himpunan  maka himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika untuk setiapn x elemen berada dalam himpunan  A dan untuk setiap x elemen pula berada dalam himpunan B.

Simbol : “C”

Contoh :

·         A={1,3,5,7}

B=Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 25

Jadi  ACB

·         D={0,1,2,3,4}

E={0,1,2,3,4}

Jadi DCE merupakan himpunan bagian biasa.

3.      Himpunan Bagian Sejati

Jika A adalah suatu himpunan dan B juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan himpunan bagian yang sejati dari himpunan B , jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan B , paling sedikit sekurang kurangnyaada 1 elemen B Yang tidak berada dalam himpunan A.

Contoh :

·         A= {1,3,5,7}

B=Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 25

Jadi ACB adalah himpunan bagian sejati

4.      Himpunan berhingga

Suatu himpunan yang elemen unsur/ anggotanya dapat dihitung banyaknya atau berhingga  banyaknya. Biasanya untuk menyatakan atau menulis himpunan ini tidak perlu ditulis secara keseluruhan dari elemen-elemennya ,cukup ditulis anggota awalnya serta anggota akhirnya.

Contoh :

·         A=himpunan bilangan bulat positif < 2000

Jadi A={0,1,2,3,4,...,1999}

5.      Himpunan Tak Berhingga

Suatu himpunan yang elemen / unsur maupun anggotanya tidak dapat dihitung banyaknya(tak berhingga). Untuk menyatakan / menulis himpunan ini tidak perlu ditulis semuanya ukup ditulis elemen awal  dan titulis 3 titik tanpa ada elemen berikutnya.

Contoh:

·         Himpunan bilangan asli

Jadi A= {1,2,3,...}

·         Himpunan bilangan bulat

Jadi B={...,-2,-1,0,1,2,3,...}

6.      Himpunan Semesta(S)

Suatu himpunan yang elemen/unsur anggotanya merupakan keseluruhan dari objek objek pembicaraan didalam himpunan itu sendiri.

Contoh :

·         A= himpunan garis yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar

B= Himpunan suatu kurva yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar

Jadi himpunan semesta adalah kumpulan titik-titik pada suatu bidang datar

7.      Himpunan Complument ( Ac)

Jika S adalah himpunan semesta dan A merupakan suatu himpunan bagian dari himpunan S, Maka Ac adalah suatu himpunan yang elemen atau unsur atau anggotanya adalah yang tidak berada pada himpunan A itu sendiri.

8.      Himpunan Bersandi

Jika A dalah himpunan dan B juga himpunan maka Himpunan A dikatakan himpunan bersandi  dari himpunan B jika dan hanya jika paling sedikitnya ada satu atau lebih unsur atau elemen dari kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama.

Contoh :

·         A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

B= {5,7,9,11,13,15,17}

Jadi A bersandi B= {5,7,9}

9.      Himpunan Lepas

Jika A adalah suatu Himpunan dan B juga himpunan , maka A dikatakan himpunan lepas dari himpunan b jika dan hanya jiak kedua himpunan tersebut tidak mengandung unsur atau elemen yang saling bersekutu.

Contoh:

·         A = {x/x bilangan ganjil}

B = {x/x bilangan genap}

Jadi A himpunan lepas B

10.  Himpunan Sama

Jika A suatu himpunan dan b juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan Himpunan sama dengan himpunan B ,jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan A dan x elemen berada pula pada himpunan B , begitu pula sebaliknya, maka dikatakan himpunan sama.

Contoh :

·         A={a,i,u,e,o}

B={u,e,o,a,i}

Jadi A=B

·         C={0,1,2,3,4,5,6}

D= {Himpunan Bilangan bulat positif yang kurang dariu dan sama dengan 6}

Jadi C=D

11.  Himpunan Sederajat

Jika A merupakan suatu himpunan dan b juga merupaakan suatu himpunan, maka himpunan a dikatakan himpunan sederajat dengan himpunan B jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah bilangan kardinal.

Contoh ;

·         A={a,b,c,d,e,f,g}

B={0,1,2,3,4,5,6}

N(A)= 7

N(B)=7

N(A)=N(B)

Jadi A sederajat dengan B

SUMBER :

http://ani-kurnia.blogspot.com/2011/07/belajar-himpunan.html

NAMA : YUNITA DWI ANDIANI

KELAS : 1PA05

NPM : 16509377